La expresión matricial de la mecánica cuántica de Heinsenberg, Born y Jordan

08 Junio 2017

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Damos un paso más en este post en la explicación de la formulación de la mecánica cuántica, haciendo referencia a la labor de Heisenberg y otros jóvenes genios a mediados de los años 20 del pasado siglo. Nos detenemos en la llamada teoría matricial de dicha mecánica. Dejando todo listo para enfrentarnos en los próximos posts a tres de las últimas aportaciones de esa primera época: el principio de indeterminación o incertidumbre de Heisenberg, la teoría ondulatoria de Schrödinger y la síntesis de lo matricial y lo ondulatorio de Paul Dirac.

Adolfo Castilla

La nueva guardia de la mecánica cuántica

Ya hemos dicho que hacia mediados de 1925, cuando Heisenberg hizo sus grandes aportaciones a la mecánica cuántica, existía en el mundo de los físicos especializados en este terreno, dos grupos fundamentales: la “vieja guardia” formada por Einstein (1879 – 1955), Bohr (1885 – 1962), Sommerfeld (1868 – 1951), Mach (1838 – 1916) y en parte por Schrödinger (1887 – 1961), y la “nueva guardia” formada por Wolfgang Pauli (1900 – 1958), Paul Dirac (1902-1984), y el propio Heisenberg (1901- 1976), además de Max Born (1882-1970), mayor que ellos y profesor en Gotinga del primero y del segundo.

A mediados de ese año, y aunque hay algunas diferencias en las fechas según la fuente que se consulte, Heisenberg tenía 23 años, Pauli, 25, Dirac, 21 y Born, 42. Schrodinger, por otra parte, tenía unos 37 años y era ya un poco mayor para los estándares de edad de los científicos de la época. Muchos consideran que fue la juventud de ellos, salvo el caso de Born, lo que los llevó a interpretaciones nuevas y brillantes sobre la mecánica cuántica.

Todos trabajaban en formular una teoría cuántica del funcionamiento del interior del átomo, y especialmente de los electrones que giran alrededor del núcleo, que estuvieran de acuerdo con las espectrografías obtenidas.

El llamado “efecto Zeeman anómalo”, los tenía deslumbrados y requería una formulación más precisa de la mecánica cuántica. Dicho fenómeno mostraba que el triplete espaciado por igual que muestra la espectrografía de algunos átomos, como por ejemplo el de Hidrógeno, al someterlo a un campo magnético, divide las líneas de otros átomos en cuatro, seis e incluso más líneas. Y algunos tripletes mostraban espaciamientos más amplios de lo esperado.

El principio de correspondencia de Bohr y el de exclusión de Pauli

El principio de correspondencia de Bohr preocupaba asimismo a todos, y muy especialmente, por cierto, a Einstein que seguía dando guerra entonces con su no aceptación de las interpretaciones cuánticas. Dicho principio establece que la leyes de la mecánica cuántica del interior del átomo no son las mismas que las de la física clásica que funcionan a “escala natural”, pero que debe haber una correspondencia entre unas y otras. Según Bohr la física clásica “emerge” de la cuántica a medida que los sistemas aumentan de tamaño. Algo que tiene que ver también con lo que hoy llamamos decoherencia, o explicación de cómo un estado cuántico entrelazado puede dar lugar a un estado físico clásico (no entrelazado).

La idea del espín, bien establecida para entonces, y el principio de exclusión de Pauli formulado por este científico en el mismo año 1925, también contribuyeron a la aportación destacada de Heisenberg. Dicho principio establece que no puede haber dos electrones con todos sus números cuánticos idénticos (esto es, en el mismo estado cuántico) dentro del mismo sistema cuántico. Los números cuánticos son, para introducir más claridad en la explicación, los valores de las variables cuánticas de posición, momento lineal y momento angular.

En esas condiciones a Heisenberg, que había intentado ser matemático y que conservó su interés por esta materia y fue muy amigo en Gotinga del gran matemático David Hilbert (1862 – 1943), se le ocurrió   un planteamiento matemático de la mecánica clásica, que sería, tras las contribuciones de Max Born y Ernest Pascual Jordan (1902 -1980), un matemático y físico teórico alemán de ascendencia española, la interpretación matricial de dicha mecánica.

La mecánica cuántica matricial

La cuestión general, por cierto, era la de poder determinar los espacios cuánticos de un electrón, en los cuales se mezclan la posición, el momento lineal y el momento angular, o espín. Además, de tener en cuenta la Energía de cada órbita en algunos casos.

Para ello, Heisenberg comenzó imaginando que un electrón se comporta como un oscilador armónico unidimensional, es decir algo como un muelle que si se aleja de su posición de equilibrio vuelve a ella describiendo oscilaciones sinusoidales en torno al punto de estabilidad.

Asimismo pensó en expresar la posición del electrón mediante una serie de Fourier, expresión matemática empleada para analizar funciones periódicas a través de la descomposición de dichas funciones en una suma infinita de funciones sinusoidales mucho más simples (como combinación de senos y cosenos con frecuencias enteras). Dependiendo los coeficientes de Fourier y las frecuencias de la funciones sinusoidales de un número cuántico determinado.

Max Born, el jefe de Heisenberg en Gotinga, se dio cuenta de que la multiplicación simbólica de su pupilo no era otra cosa que el cálculo matricial al que él había tenido acceso en sus años de formación.

La mecánica cuántica matricial así, que recogía todos los estados cuánticos de una partícula elemental, en forma matricial, y que aprovechaba la característica de no conmutativa del producto de matrices (AxB no igual a BxA), fue obra de Heisenberg, Born y Jordan.

Imagen de portada: By Ingo Wulff für das Bundesministerium der Finanzen und die Deutsche Post AG – Own work, Public Domain, Link

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